Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m \) để hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 3 \) đạt cực đại tại \(x = 1 \) A.\(m = 3\) B.\(m = 1,m = 3\) C.\(m = 1\) D.Không tồn tại \(m\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:TXĐ : \(D = \mathbb{R}\) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4mx + {m^2}\). \(x = 1\) là điểm cực đại của hàm số đã cho nên \(\begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\ \Leftrightarrow {3.1^2} - 4m.1 + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.\end{array}\) Với \(m = 1\) ta có : \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1 = \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\) Phương trình này nhận \(x = 1\) là điểm cực tiểu (không thỏa mãn) Với \(m = 3\) ta có : \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9 = 3\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\) Phương trình này nhận \(x = 1\) là điểm cực đại nên \(m = 3\) thỏa mãn Chọn A.