Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn y+z2019x+y2019 là số hữu tỷ và x2+y2+z2 là số nguyên tố. A.x=2;y=2;z=1 B.x=1;y=1;z=2 C.x=y=z=2 D.x=y=z=1
Phương pháp giải: Từ giả thiết chứng minh y2=zx sau đó phân tích x2+y2+z2=(x+y+z)(x−y+z). Giải chi tiết:Đặt \(\frac{{x + y\sqrt {2019} }}{{y + z\sqrt {2019} }} = \frac{m}{n} \Leftrightarrow nx - my = \sqrt {2019} \left( {mz - ny} \right)\left( {m,n \in \mathbb{Z},n e 0} \right)\) Để nx−my=2019(mz−ny)∈Qta có: {nx−my=0mz−ny=0⇒yx=zy⇒y2=zx⇒x2+y2+z2=(x+z)2−2xz+y2=(x+z)2−y2=(x+y+z)(x−y+z) Vì x2+y2+z2 là số nguyên tố, x+y+z là số nguyên lớn hơn 1. ⇒x−y+z=1⇒x2+y2+z2=x+y+z Mà x2≥x;y2≥y;z2≥z⇒x=1;y=1;z=1 Vậy x=y=z=1. Chọn D.