Giả sử phân số chưa tối giản
`⇒ 18n + 3` và `21n + 7` có ước chung là số nguyên tố
Gọi số nguyên tố `d` là ước chung của `18n + 3` và `21n + 7`
`⇒` $\left \{ {{18n+3⋮d} \atop {21n+7⋮d}} \right.$
`⇒` $\left \{ {{126n+21⋮d} \atop {126n+42⋮d}} \right.$
`⇒ 21 ⋮ d`
Do `d` là số nguyên tố, `21 ⋮ d ⇒ d = 3; 7`
`d = 3 ⇒ 21n + 7 ⋮ 3 => 7 ⋮ 3(`loại`)`
`d = 7 ⇒ 21n + 7 ⋮ 7 => 21n - 3n + 3 ⋮ 7`
`⇒ 3 - 3n ⋮ 7 ⇒ 3 - 3n = 7k (k ∈ N)`
`⇒ 1 - n = \frac{7k}{3}⇒ n = 1 - \frac{7k}{3}⇒ k = 0; n = 1`
`=>n=1`
