Giải thích các bước giải:
Ta có:
$A=n^5-n$
$\to A=n(n^4-1)$
$\to A=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
$\to A=n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)$
$\to A=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)$
Vì $n-2, n-1, n, n+1,n+2$ là $5$ số tự nhiên liên tiếp
$\to n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)\quad\vdots\quad 2, 3, 5$
$\to n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)\quad\vdots\quad 2\cdot3\cdot 5=30$ vì $(2, 3, 5)=1$
Lại có $n-1, n, n+1$ là $3$ số tự nhiên liên tiếp
$\to (n-1)n(n+1)\quad\vdots\quad 2,3$
$\to (n-1)n(n+1)\quad\vdots\quad 6$ vì $(2,3)=1$
$\to 5 (n-1)n(n+1)\quad\vdots\quad30$
$\to n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)\quad\vdots\quad30$
$\to n^5-n\quad\vdots\quad30$
Để $n^5+2021\quad\vdots\quad 30$
$\to (n^5-n)+(n+2021)\quad\vdots\quad 30$
$\to n+2021\quad\vdots\quad 30$
$\to n+11+2010\quad\vdots\quad 30$
$\to n+11\quad\vdots\quad 30$
$\to n+11=30k, k\in N*$ vì $n\in N\to n\ge 0\to n+11\ge 11\to 30k\ge 11\to k>0$
$\to n=30k-11$
Mà $n\le 2021$
$\to 30k-11\le 2021\to k\le 67$
Lại có $k>0\to 1\le k \le 67$
$\to$Có $67$ số tự nhiên $n$ thỏa mãn đề có dạng $30k-11$ với $k\in N$ và $1\le k\le 67$
