Đáp án:
`(x,y)=(4,9),(9,4).`
Giải thích các bước giải:
`1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}(x,y>=0)`
`<=>1=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x+y+3}`
Vì `VT` là số hữu tỷ
`=>VP` cũng là số hữu tỷ
`=>\sqrt{x+y+3},\sqrt{x},\sqrt{y} in NN.`
Đặt `\sqrt{x}=u,\sqrty=v,\sqrt{x+y+3}=t(u,v,t \in NN,u,v,t>=0)`
`<=>x+y=u^2+v^2(1),t^2=x+y+3(2)`
`(2)-(1)` ta có:
`t^2-u^2-v^2=3`
`<=>t^2=u^2+v^2+3(3)`
`pt<=>t+1=u+v`
`<=>t=u+v-1`
`<=>t^2=(u+v-1)^2(4)`
`(3)(4)=>u^2+v^2+3=u^2+v^2+1-2u-2v+2uv`
`<=>2uv-2u-2v=2`
`<=>2u(v-1)-2(v-1)=4`
`<=>u(v-1)-(v-1)=2`
`<=>(u-1)(v-1)=2`
Mà `u,v in NN`
`=>u-1,v-1 in Ư(2)={+-1,+-2}`
Mà `u-1,v-1>=-1(do \ u,t>=0)`
`=>u-1,v-1 in {1;2}`
`=>[({(u-1=1),(v-1=2):}),({(u-1=2),(v-1=1):}):}`
`<=>[({(u=2),(v=3):}),({(u=3),(v=2):}):}`
`<=>[({(x=4),(y=9):}),({(x=9),(y=4):}):}`
Vậy `(x,y)=(4,9),(9,4).`
