Ta có đề bài
$$(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}})^x + (\sqrt{9 + 4\sqrt{5}})^x = 18$$
$$<-> (\sqrt{5 - 4\sqrt{5} + 4})^x + (\sqrt{5 + 4\sqrt{5} + 4})^x = 18$$
$$<-> (\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2})^x + (\sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2})^x = 18$$
$$<-> (\sqrt{5} - 2)^x + (\sqrt{5} + 2)^x = 18
Ta có
$$(\sqrt{5} - 2)^x (\sqrt{5}+2)^x = [(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)]^x = (5-4)^x = 1^x = 1$$
Đặt $t = (\sqrt{5}-2)^x, t >0$, khi đó ta có
$$(\sqrt{5}+2)^x = \dfrac{1}{(\sqrt{5}-2)^x} = \dfrac{1}{t}$$
Thế vào ptrinh ta có
$$t + \dfrac{1}{t} = 18$$
$$<-> t^2 - 18t + 1 = 0$$
$$t = 9 + 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 2)^2, t = 9 - 4\sqrt{5} = (\sqrt{5}-2)^2$$
TH1: $t = (\sqrt{5}-2)^2$
Khi đó, ta có $(\sqrt{5}-2)^x = (\sqrt{5}-2)^2$ hay $x = 2$.
TH2: $t = (\sqrt{5} + 2)^2$
Khi đó, ta có
$$(\sqrt{5} - 2)^x=(\sqrt{5} + 2)^2$$
$$<-> \dfrac{1}{(\sqrt{5} + 2)^x} = (\sqrt{5} + 2)^2$$
$$<-> (\sqrt{5}+2)^{x+2} = 1$$
Vậy $x+2 = 0$ hay $x = -2$.
Vậy nghiệm của ptrinh là $x = 2$ hoặc $x = -2$.
