Đáp án:
x = 0 hoặc x = -1
Giải thích các bước giải:
Theo giả thiết: ${x^2} + x$ là số chính phương
Đặt ${x^2} + x = {a^2}(a \in Z)$
Khi đó ta có:
$\eqalign{
& 4({x^2} + x) = 4{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 1 = 4{a^2} + 1 \cr
& \Leftrightarrow {(2x + 1)^2} - {(2a)^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow (2x + 2a + 1)(2x - 2a + 1) = 1 \cr} $
Vì x, a là số nguyên nên 2x + 2a + 1, 2x - 2a + 1 là ước của 1
Khi đó ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $\left\{ {\matrix{
{2x - 2a + 1 = 1} \cr
{2x + 2a + 1 = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 0} \cr
{a = 0} \cr
} } \right.$
Trường hợp 2:
$\left\{ {\matrix{
{2x - 2a + 1 = - 1} \cr
{2x + 2a + 1 = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{ - 1} \over 2}} \cr
{a = {1 \over 2}} \cr
} } \right.$
(Không thỏa mãn điều kiện x nguyên)
Trường hợp 3:
$\left\{ {\matrix{
{2x - 2a + 1 = 1} \cr
{2x + 2a + 1 = - 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{ - 1} \over 2}} \cr
{a = {{ - 1} \over 2}} \cr
} } \right.$
(Không thỏa mãn điều kiện x nguyên)
Trường hợp 4:
$\left\{ {\matrix{
{2x - 2a + 1 = - 1} \cr
{2x + 2a + 1 = - 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = - 1} \cr
{a = 0} \cr
} } \right.$
Vậy x = 0 hoặc x = -1 thỏa mãn bài toán.
