Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
Với \(m = 2\), xét phương trình hoành độ giao điểm tìm tọa độ điểm \(C\) và thay vào đường thẳng \({d_3}\).Giải chi tiết:Với \(m = 2\)\( \Rightarrow \left( {{d_1}} \right):y = 2x + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = 5x - 1\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \({\left( d \right)_1};\,\,\,\left( {{d_2}} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2x + 2 = 5x - 1 \Leftrightarrow 3x = 3\\ \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 4\end{array}\)
Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) khi \(m = 2\) là \(C\left( {1;4} \right)\)
Điều kiện: \(a - 2 \ge 0 \Leftrightarrow a \ge 2.\)
Vì \(C \in {d_3}\) nên thay tọa độ điểm \(C\) vào \(\left( {{d_3}} \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,4 = 12 - 5a + {a^2} - 2\sqrt {a - 2} \\ \Leftrightarrow {a^2} - 5a + 8 - 2\sqrt {a - 2} = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 - a + 2 - 2\sqrt {a - 2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} - \left( {a - 2} \right) - 2\sqrt {a - 2} + 2 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(\sqrt {a - 2} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^4} - {t^2} - 2t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2}\left( {{t^2} - 1} \right) - 2\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {t^2}\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) - 2\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left[ {{t^2}\left( {t + 1} \right) - 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} + {t^2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} - {t^2} + 2{t^2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left[ {{t^2}\left( {t - 1} \right) + 2\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2}\left( {{t^2} + 2t + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t - 1 = 0\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,{t^2} + 2t + 2 > 0\,\,\,\forall {\rm{t}}} \right)\\ \Leftrightarrow t = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow \sqrt {a - 2} = 1 \Rightarrow a - 2 = 1 \Leftrightarrow a = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy \(a = 3\) thỏa mãn bài toán.
