Gọi d= ƯCLN(7n+3; 8n-1) với d∈N*)
Ta có: 7n+3 chia hết cho d ⇒ 8(7n+3) chia hết cho d ⇒ 56n+24 chia hết cho d (1)
8n-1 chia hết cho d ⇒ 7(8n-1) chia hết cho d ⇒ 56n-7 chia hết cho d (2)
Từ (1) và (2) ⇒ (56n+24)-(56n-7) chia hết cho d
⇒ 31 chia hết cho d
⇒ d∈Ư(31)
Giả sử 7n+3 và 8n-1 không nguyên tố cùng nhau:
⇒ (8n-1)-(7n+3) chia hết cho 11
⇒ n-4 chia hết cho 11
⇒ n-4= 11k (k∈N*)
⇒ n= 11k+4
Với n khác 11k+4 ( với k∈N*) thì 7n+3 và 8n-1 nguyên tố cùng nhau.
