TH1: Nếu $p=2$ thì $2^x+1=y^2$
+) $x=0⇒y^2=2⇒$ loại
+) $x>0⇒2^x=(y-1)(y+1)>0(*)$
$⇔(y-1;y+1)=(2^m;2^n)$ $(m,n∈Z^+;m+n=x)$
Khi đó ta có:$2^n-2^m=2⇔2(2^{n-1}-2^{m-1}-1)=0$
Do $2^n>2^m$ nên $n-1>m-1≥0⇒2^{n-1}$ là số chẵn
Mà 1 là số lẻ suy ra $2^{m-1}$ là số lẻ
$⇒m-1=0⇒$$\left \{ {{m=1} \atop {2^{n-1}=2⇒n=2}} \right.$
Với $(m;n)=(1;2)$ ta tìm đc $(p;x;y)=(2;3;3)$
TH2: Nếu $p≠2$, do p còn là số nguyên tố $⇒p≥3$ và p là số lẻ
Ta có: $p^x=(y-1)(y+1)$
Vì $p^x$ là số lẻ $⇒y$ là số chẵn
$⇒y^2≡0(mod4)⇔p^x+1≡0(mod4)⇔p^x≡3(mod4)$
$⇒p^x$ ko phải là số chính phương
$⇒x$ là số lẻ
Đặt $y-1=p^m;y+1=p^n$ $(m,n∈N;m+n=x)$
$⇒p^n-p^m=2⇔p^m(p^{n-m}-1)=1.2$
Do p là số nguyên tố khác 2, m và n là các số tự nhiên
Nên suy ra$\left \{ {{p^m=1} \atop {p^{n-m}-1=2}} \right.⇒$ $\left \{ {{m=0} \atop {p^{n-m}=3^1}} \right.⇔$ $\left \{ {{m=0;n=m+1=1} \atop {p=3}} \right.$
Với $(p;m;n)=(3;0;1)$ ta tìm đc $(p;x;y)=(3;1;2)$
Vậy ..............................
