Đáp án:
$(x,y) = (1, 13)$.
Giải thích các bước giải:
Ta có
$7^x + 49y = 644$
$\Leftrightarrow 7^{x-2 + 2} + 7^2.y = 644$
$\Leftrightarrow 7^{x-2} . 7^2 + 7^2y = 644$
$\Leftrightarrow 7^2(7^{x-2} + y) = 7.92$
$\Leftrightarrow 7(7^{x-2} + y) = 92$
$\Leftrightarrow 7^{x-2} + y = \dfrac{92}{7}$
$\Leftrightarrow y = \dfrac{92}{7} - 7^{x-2}$
$\Leftrightarrow y = 13 + \dfrac{1}{7} - 7^{x-2}$
$\Leftrightarrow y - 13 = \dfrac{1}{7} - 7^{x-2}$
Do $y$ là số nguyên nên $y-13$ cũng là số nguyên. Vậy vế trái là số nguyên.
Suy ra vế phải cũng là số nguyên.
Ta có
$\dfrac{1}{7} - 7^{x-2} = \dfrac{1}{7} - \dfrac{7^x}{7^2} = \dfrac{7 - 7^x}{49}$
Để $\dfrac{7 - 7^x}{49}$ nguyên thì $7-7^x$ phải chia hết cho $49$. Tuy nhiên ta lại có $7^x > 0$, suy ra $7-7^x < 7$. Số duy nhất nhỏ hơn 7 mà chia hết cho 49 chỉ có thể là số $0$.
Do đó ta có
$\dfrac{1}{7} - 7^{x-2} = 0$
$\Leftrightarrow 7^{-1} = 7^{x-2}$
$\Leftrightarrow x - 2 = -1$
$\Leftrightarrow x = 1$
Suy ra $y -13 = 0$ hay $y = 13$.
Vậy $y = 13$.
Do đó $(x,y) = (1, 13)$.
