Đáp án:
$\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
{4^x} = 1 + {3^y}\\
\Leftrightarrow {\left( {{2^2}} \right)^x} = 1 + {3^y}\\
\Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 1 = {3^y}\\
\Leftrightarrow \left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{2^x} + 1} \right) = {3^y}
\end{array}$
Do $p$ là số nguyên tố và $x,y\in N$ nên luôn tồn tại $m,n$ sao cho:
$\left\{ \begin{array}{l}
{2^x} - 1 = {3^m}\\
{2^x} + 1 = {3^n}
\end{array} \right.\left( {m + n = y;m,n \in N};m<n \right)$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{3^n} - {3^m} = 2\\
\Leftrightarrow {3^m}\left( {{3^{n - m}} - 1} \right) = 2\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{3^m} = 1\\
{3^{n - m}} - 1 = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{3^m} = 2\left( l \right)\\
{3^{n - m}} - 1 = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 0\\
n - m = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 0\\
n = 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Như vậy ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
y = m + n\\
{2^x} - 1 = {3^m}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
x = 1
\end{array} \right.$
Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$ là cặp số thỏa mãn đề.
