Đáp án:$(x, y) = (2;0); (-1;-3);(2;-2)$
Giải thích các bước giải:
$ PT ⇔ x³ - 3x² + 3x - 1 = y³ + 2y² + 1$
$ ⇔ (x - 1)³ = y³ + 2y² + 1 (*) > y³ ⇔ x - 1 > y (1)$
Mặt khác với $∀y :$
$10y² + 48y + 63 = (\sqrt[]{10}y + \dfrac{12\sqrt[]{10}}{5})² + \dfrac{27}{5} > 0$
Vậy với $∀n ≥ 4 ⇒ y + n ≥ y + 4$
$ ⇒ (y + n)³ ≥ (y + 4)³ = y³ + 12y² + 48y + 64 $
$ = y³ + 2y² + 1 + (10y² + 48y + 63) > (x - 1)³$
$ ⇒ x - 1 < y + 4(2)$
Từ $(1),(2) : y < x - 1 < y + 4$
Vì $x, y ∈ Z$ nên chỉ có thể xảy ra các trường hợp :
$ x - 1 = y + 1; x - 1 = y + 2;x - 1 = y + 3$
@ Nếu $ x - 1 = y + 1$ thay vào $(*)$
$ (y + 1)³ = y³ + 2y² + 1 ⇔ y(y + 3) = 0 $
$ ⇔ y = 0; y = - 3 ⇒ x = 2; x - 1$
@ Nếu $ x - 1 = y + 2$ thay vào $(*)$
$ (y + 2)³ = y³ + 2y² + 1 ⇔ 4y² + 12y + 7 = 0 $
(không có nghiệm nguyên)
@ Nếu $ x - 1 = y + 3$ thay vào $(*)$
$ (y + 3)³ = y³ + 2y² + 1 ⇔ 7y² + 27y + 26 = 0 $
$ ⇔ (y + 2)(7y + 13) = 0 ⇔ y = - 2 ⇒ x = 2 $
Vậy $PT$ có $3$ nghiệm nguyên là :
$(x, y) = (2;0); (-1;-3);(2;-2)$
