Đáp án:
\[x = 1;\,\,y = 2;\,\,z = 3\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,y \ge 1,\,\,z \ge 2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương ta có:
\(\begin{array}{l}
x + 1 \ge 2\sqrt {x.1} = 2\sqrt x \\
\left( {y - 1} \right) + 1 \ge 2\sqrt {\left( {y - 1} \right).1} = 2\sqrt {y - 1} \\
\left( {z - 2} \right) + 1 \ge 2\sqrt {\left( {z - 2} \right).1} = 2\sqrt {z - 2} \\
\Rightarrow \left( {x + 1} \right) + \left[ {\left( {y - 1} \right) + 1} \right] + \left[ {\left( {z - 2} \right) + 1} \right] \ge 2\sqrt x + 2\sqrt {y - 1} + 2\sqrt {z - 2} \\
\Leftrightarrow x + y + z \ge 2\left( {\sqrt x + \sqrt {y - 1} + \sqrt {z - 2} } \right)\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right) \ge \sqrt x + \sqrt {y - 1} + \sqrt {z - 2}
\end{array}\)
Từ giả thiết suy ra dấu '=' ở các bất đẳng thức trên phải xảy ra hay:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y - 1 = 1\\
z - 2 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2\\
z = 3
\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 1;\,\,y = 2;\,\,z = 3\)
