Đáp án:
$(x,y,z) = \left( -\dfrac{5}{2}, -\dfrac{5}{6}, \dfrac{5}{6} \right)$.
Giải thích các bước giải:
Theo đề bài ta có
$\dfrac{y + z + 1}{x} = \dfrac{z + x + 2}{y} = \dfrac{x + y + 3}{z} = \dfrac{1}{x + y + z}$
$\Leftrightarrow \dfrac{y + z + 1}{x} + 1 = \dfrac{z + x + 2}{y} + 1 = \dfrac{x + y + 3}{z} + 1 = \dfrac{1}{x + y + z} +1$
$\Leftrightarrow \dfrac{x + y + z + 1}{x} = \dfrac{x + y + z + 2}{y} = \dfrac{x + y + z + 3}{z} = \dfrac{x + y + z + 1}{x + y + z}$
Từ đó ta suy ra
$\dfrac{x + y + z + 1}{x} = \dfrac{x + y + z + 1}{x + y + z}$
$\Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0$ hoặc $x = x + y + z$
$\Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0$ hoặc $y + z = 0$
TH1: $x + y + z + 1 = 0$
Khi đó theo như ở trên ta có
$0 = \dfrac{x + y + z + 1 + 1}{y} = \dfrac{x + y + z + 1 + 2}{z}$
$\Leftrightarrow 0 = \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{z}$
Điều này là vô lý do $x, y, z \neq 0$.
TH2: $y + z = 0$
Khi đó ta có
$\dfrac{x + 1}{x} = \dfrac{x + 2}{y} = \dfrac{x + 3}{z}$
Áp dụng tchat dãy tỉ số bằng nhau ta có
$\dfrac{x + 1}{x} = \dfrac{x + 2}{y} = \dfrac{x + 3}{z} = \dfrac{x + 1 + x + 2 + x + 3}{x + y + z} = \dfrac{3x + 6}{x}$
Từ đó suy ra
$\dfrac{x + 1}{x} = \dfrac{3x + 6}{x}$
$\Leftrightarrow x + 1 = 3x + 6$
$\Leftrightarrow x = -\dfrac{5}{2}$
Thay vào dãy trên ta có
$\dfrac{-\frac{5}{2} + 1}{-\frac{5}{2}} = \dfrac{-\frac{5}{2} + 2}{y}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{5} = -\dfrac{1}{2y}$
$\Leftrightarrow \dfrac{6y}{5} = -1$
$\Leftrightarrow y = -\dfrac{5}{6}$
Do $y + z = 0$ nên ta có
$-\dfrac{5}{6} + z = 0$
$\Leftrightarrow z = \dfrac{5}{6}$
Vậy $(x,y,z) = \left( -\dfrac{5}{2}, -\dfrac{5}{6}, \dfrac{5}{6} \right)$.
