x3 + x2 + x + 1 = 2011y
+) Nhận thấy (0; 0) là nghiệm của phương trình.
+) Với y < 0 ta có: 2011y không thuộc Z mà x3 + x2 + x + 1 thuộc Z với x thuộc Z
Nên Phương trình không có nghiệm với y < 0
+) y > 0
x3 + x2 + x + 1 = 2011y
<=> (x + 1)(x2 + 1) = 2011y
=> x + 1 > 0 do (x2 + 1) và 2011y > 0
Đặt ƯCLN(x + 1, x2 + 1) = d ta có:
x + 1 chia hết cho d; x2 +1 chia hết cho d
=> [(x2 + 1) + (x + 1)(1 - x)] chia hết cho d
<=> 2 chia hết cho d và 2011y chia hết cho d
=> d = 1
mà 2011 là số nguyên tố nên các ước của 2011y chỉ có thể là 1 hoặc 2011m (m thuộc N*)
=> x + 1 = 1 và x2 + 1 = 1
=> x = 0 ; y = 0 (loại)
Vậy pt không có nghiệm với y > 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) = (0, 0)
