Giải thích các bước giải:
a) Ta có: $y=|1-2x|(x^2+3x+5)$ (1)
+Nếu $1-2x>0\to x<\dfrac{1}{2}$ khi đó:
(1) trở thành $y=(1-2x)(x^2+3x+5)\to y'=-2(x^2+3x+5)+(1-2x)(2x+3)=-6x^2-10x-7$
+Nếu $1-2x<0\to x>\dfrac{1}{2}$ khi đó:
(1) trở thành $y=(2x-1)(x^2+3x+5)\to y'=2(x^2+3x+5)+(2x-1)(2x+3)=6x^2+10x+7$
+Nếu $x=\dfrac{1}{2}$ khi đó:
$y'(\dfrac{1}{2}^+)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\dfrac{1}{2}}^ + }} \dfrac{{y - y\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}}{{x - \dfrac{1}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\dfrac{1}{2}}^ + }} \dfrac{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{x^2} + 3{\rm{x}} + 5} \right)}}{{x - \dfrac{1}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\dfrac{1}{2}}^ + }} 2\left( {{x^2} + 3{\rm{x}} + 5} \right) = \dfrac{{27}}{2}$
Và:
$y'(\dfrac{1}{2}^-)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\dfrac{1}{2}}^ - }} \dfrac{{y - y\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}}{{x - \dfrac{1}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\dfrac{1}{2}}^ + }} \dfrac{{\left( {1 - 2{\rm{x}}} \right)\left( {{x^2} + 3{\rm{x}} + 5} \right)}}{{x - \dfrac{1}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\dfrac{1}{2}}^ + }} \left[ { - 2\left( {{x^2} + 3{\rm{x}} + 5} \right)} \right] = - \dfrac{{27}}{2}$
Suy ra: $y'(\dfrac{1}{2}^+)\ne y'(\dfrac{1}{2}^-)\to$ Không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x=\dfrac{1}{2}$
Vậy: $y' = \left\{ \begin{array}{l}
- 6{{\rm{x}}^2} - 10{\rm{x}} - 7{\rm{ khi }}x < \dfrac{1}{2}\\
6{{\rm{x}}^2} + 10{\rm{x + }}7{\rm{ khi }}x > \dfrac{1}{2}\\
\not \exists {\rm{ khi }}x = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.$
b) ĐKXĐ: $x\ne 2$
Ta có: $y = \dfrac{{\left| {x + 1} \right|}}{{x - 2}}$(2)
+Nếu $x+1>0\to x>-1$ khi đó:
(2) trở thành: $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} \to y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}$
+Nếu $x+1<0\to x<-1$ khi đó:
(2) trở thành: $y = \dfrac{{-x - 1}}{{x - 2}} \to y' = \dfrac{{ 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}$
+Nếu $x=-1$ khi đó:
$y'(-1^+)=\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{y - y( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{{ - 1}}{3}$
Và:
$y'(-1^-)=\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \dfrac{{y - y( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{\dfrac{{ - x - 1}}{{x - 2}}}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{ - 1}}{{x - 2}} = \dfrac{1}{3}$
Như vậy: $y'(-1^+)\ne y'(-1^-)\to $ Không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x=-1$
Vậy $y' = \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{ - 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}{\rm{ khi }}x > - 1;x\ne 2\\
\dfrac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}{\rm{ khi }}x < - 1\\
\not \exists {\rm{ khi }}x = - 1
\end{array} \right.$
c) Ta có:
$y' = \left\{ \begin{array}{l}
2f'(2{\rm{x}} + 1){\rm{ khi }}x > \dfrac{{ - 1}}{2}\\
- 2f'(2{\rm{x}} + 1){\rm{ khi }}x < \dfrac{{ - 1}}{2}\\
\not \exists {\rm{ khi }}x = \dfrac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right.$
