Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng \(a.\) A. \(\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}.\) B. \(\frac{3\pi {{a}^{2}}}{7}.\) C. \(\frac{7\pi {{a}^{2}}}{5}.\) D. \(\frac{7\pi {{a}^{2}}}{6}.\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết: Xét lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh bằng \(a.\) Gọi \(O\) là tâm tam giác \(ABC,\) \(M\) là trung điểm của \(A{A}'.\) Qua \(O\) kẻ \({{d}_{1}}\bot \left( ABC \right),\) qua \(M\) kẻ \({{d}_{2}}\bot A{A}'\) và \({{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}=I.\) Suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'.\) Tam giác \(IAO\) vuông tại \(O,\) có \(IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{R_{\Delta \,ABC}^{2}+\frac{A{{{{A}'}}^{2}}}{4}}\) Mà \(A{A}'=a;\,\,{{R}_{\Delta \,ABC}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)\(\Rightarrow \,\,IA=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}.\) Vậy diện tích cần tính là \({{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{21}}{6} \right)}^{2}}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}.\) Chọn A