Đáp án:
$Q = \dfrac{a - b}{b}$ ( nếu $|a| ≥ |b|; ab > 0$)
$Q = \dfrac{b - a}{a}$ ( nếu $|a| < |b|; ab > 0$)
Giải thích các bước giải:
$ x = \dfrac{1}{2}(\sqrt{\dfrac{a}{b}} + \sqrt{\dfrac{b}{a}}) > 0 ⇒ \dfrac{a}{b} > 0 ⇒ ab > 0$
$ ⇒ x² - 1 = \dfrac{1}{4}(\sqrt{\dfrac{a}{b}} + \sqrt{\dfrac{b}{a}})² - 1 = \dfrac{1}{4}(\sqrt{\dfrac{a}{b}} - \sqrt{\dfrac{b}{a}})² $
$ ⇒ \sqrt{x² - 1} = \dfrac{1}{2}|\sqrt{\dfrac{a}{b}} - \sqrt{\dfrac{b}{a}}| (*)$
Có 2 trường hợp :
TH1 $: |a| ≥ |b| ; ab > 0$
$ ⇔ a² ≥ b² ⇔ a² - b² ≥ 0 ⇔ \dfrac{a² - b²}{ab} ≥ 0$
$ ⇔ \dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a} ≥ 0 ⇒ \sqrt{\dfrac{a}{b}} - \sqrt{\dfrac{b}{a}} ≥ 0$
$ (*) ⇒ \sqrt{x² - 1} = \dfrac{1}{2}(\sqrt{\dfrac{a}{b}} - \sqrt{\dfrac{b}{a}}) $
$ ⇒ x - \sqrt{x² - 1} = \dfrac{1}{2}(\sqrt{\dfrac{a}{b}} + \sqrt{\dfrac{b}{a}}) - \dfrac{1}{2}(\sqrt{\dfrac{a}{b}} - \sqrt{\dfrac{b}{a}}) = \sqrt{\dfrac{b}{a}} $
$Q = \dfrac{2\sqrt{x² - 1}}{x - \sqrt{x² - 1}} = \dfrac{a - b}{b}$
TH2 $: |a| < |b| ; ab > 0$ tương tự:
$Q = \dfrac{2\sqrt{x² - 1}}{x - \sqrt{x² - 1}} = \dfrac{b - a}{a}$
