Đặt $A=\dfrac{a+4b}{2\sqrt{ab}}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+4b}=\dfrac{3(a+4b)}{8\sqrt{ab}}+\dfrac{a+4b}{8\sqrt{ab}}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+4b}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có:
$\dfrac{a+4b}{8\sqrt{ab}}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+4b}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{a+4b}{8\sqrt{ab}}.\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+4b}}=2.\sqrt{\dfrac14}=1$
Mặt khác, ta có:
$\big(\sqrt{a}-2\sqrt{b}\big)^2 \geqslant 0$
$\Leftrightarrow a-4\sqrt{ab}+4b\geqslant 0$
$\Leftrightarrow a+4ab\geqslant 4\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow 3(a+4b)\geqslant 12\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3(a+4b)}{8\sqrt{ab}}\geqslant \dfrac32$
$\Rightarrow A\geqslant 1+\dfrac32=\dfrac{5}{2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{a}-2\sqrt{b}=0\Leftrightarrow a=4b$
Vậy $\min A=\dfrac{5}{2}$ đạt được khi $a=4b$
