Giải thích các bước giải:
TQ:
\(\begin{array}{l}
A = 1 + k + {k^2} + {k^3} + .... + {k^n}\\
\Leftrightarrow A.k = k + {k^2} + {k^3} + {k^4} + .... + {k^{n + 1}}\\
\Rightarrow A.k - A = \left( {k + {k^2} + {k^3} + {k^4} + .... + {k^{n + 1}}} \right) - \left( {1 + k + {k^2} + {k^3} + .... + {k^n}} \right)\\
\Leftrightarrow A\left( {k - 1} \right) = {k^{n + 1}} - 1\\
\Leftrightarrow A = \frac{{{k^{n + 1}} - 1}}{{k - 1}}\\
\Rightarrow \lim \frac{{1 + a + {a^2} + {a^3} + .... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + {b^3} + .... + {b^n}}}\\
= \lim \frac{{\frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}}}}{{\frac{{{b^{n + 1}} - 1}}{{b - 1}}}} = \lim \left( {\frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}}:\frac{{{b^{n + 1}} - 1}}{{b - 1}}} \right)\\
= \lim \left( {\frac{{b - 1}}{{a - 1}}.\frac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{{b^{n + 1}} - 1}}} \right) = \frac{{b - 1}}{{a - 1}}\lim \left( {\frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{n + 1}} - \frac{1}{{{b^{n + 1}}}}}}{{1 - \frac{1}{{{b^{n + 1}}}}}}} \right)\\
= \left[ \begin{array}{l}
\frac{{b - 1}}{{a - 1}}\,\,\,\,\,\left( {a > b} \right)\\
0\,\,\,\,\left( {a < b} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
