Ta có
$\lim_{x-> 0} (x^x-1)\ln x = \lim_{x-> 0} (e^{\ln(x^x)} - 1) \ln x$
$= \lim_{x-> 0} (e^{x\ln x} - 1)\ln x$
$= \lim_{x-> 0} \dfrac{e^{x\ln x} - 1}{x\ln x} . x \ln^2 x$
Ta lại có
$\lim_{x->0} x\ln x = 0$ và $\lim_{x->0} \dfrac{e^x-1}{x} = 1$.
Áp dụng với $x = x \ln x$ ta có
$\lim_{x-> 0} (x^x-1)\ln x = \lim_{x -> 0} x . \ln^2x = 0$
Do tốc độ tiến đến 0 của x nhanh hơn tốc độ tiến đến vô cùng của $\ln x$.
