Ta tính
$I = \displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{3x^2}{3^x + 1} dx$
Trước hết, ta tính
$\displaystyle \int \dfrac{dx}{3^x + 1} = \displaystyle \int \dfrac{3^x dx}{3^x(3^x + 1)}$
$= \dfrac{1}{\ln 3} \displaystyle \int \dfrac{(3^x \ln 3)dx}{3^x (3^x + 1)}$
$= \dfrac{1}{\ln 3} \displaystyle \int \dfrac{d(3^x)}{3^x(3^x + 1)}$
Đặt $u = 3^x$. Khi đó ta có
$\displaystyle \int \dfrac{dx}{3^x + 1} = \dfrac{1}{\ln 3} \displaystyle \int \dfrac{du}{u(u+1)}$
$= \dfrac{1}{\ln 3} \displaystyle \int \left( \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{u+1} \right) du$
$=\dfrac{1}{\ln 3} ( \ln |u| - \ln |u+1| ) + c$
$= \dfrac{1}{\ln 3} \left( \ln \dfrac{3^x}{3^x + 1}\right) + c$
Ta quay lại với tích phân ban đầu
$I = \displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{3x^2}{3^x + 1} dx$
$= \displaystyle \int_{-1}^1 3x^2 . \dfrac{1}{3^x + 1} dx$
$= \dfrac{1}{\ln 3} \displaystyle \int_{-1}^1 3x^2 d\left[ \ln \left( \dfrac{3^x}{3^x +1} \right) \right]$
Vậy
$I \ln 3 = \displaystyle \int_{-1}^1 3x^2 d\left[ \ln \left( \dfrac{3^x}{3^x +1} \right) \right]$
Áp dụng tích phân từng phần ta có
$I \ln 3 = 3x^2 . \ln \left( \dfrac{3^x}{3^x +1} \right)\bigg\vert_{-1}^1 - \displaystyle \int_{-1}^1 \ln \left( \dfrac{3^x}{3^x +1} \right) d(3x^2)$
$= 3x^2 . \ln \left( \dfrac{3^x}{3^x +1} \right)\bigg\vert_{-1}^1 - \displaystyle \int_{-1}^1 \ln \left( \dfrac{3^x}{3^x +1} \right) 6x dx$
$= 3x^2 . \ln \left( \dfrac{3^x}{3^x +1} \right)\bigg\vert_{-1}^1 - 6\displaystyle \int_{-1}^1 x\ln \left( \dfrac{3^x}{3^x +1} \right) dx$
Tiếp tục, để dễ dàng ta sẽ tính
$\displaystyle \int \ln \left( \dfrac{3^x}{3^x + 1} \right) dx$
Tích phân này các em chưa thể tính được. Lên đại học mới được học tính tích phân này
