Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{(x + 1)(x + 2)...(x + n)}} - x} \right)\) bằng:A.\(0.\) .B.\(\frac{{n + 1}}{2}\). C.\(n\) D. \(1\)

HOANGHUY2K

2 năm trước

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{(x + 1)(x + 2)...(x + n)}} - x} \right)\) bằng:
A.\(0.\) .
B.\(\frac{{n + 1}}{2}\).
C.\(n\)
D. \(1\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 11 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

mnhkhue01

Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:Đặt \(x = \frac{1}{y}\), khi \(x \to + \infty :\,\,\,y \to 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{(x + 1)(x + 2)...(x + n)}} - x} \right) \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left( {\sqrt[n]{{\left( {\frac{1}{y} + 1} \right)\left( {\frac{1}{y} + 2} \right)...\left( {\frac{1}{y} + n} \right)}} - \frac{1}{y}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y}\)
\(\begin{array}{l}\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1\\ = \sqrt[n]{{1 + y}} - \sqrt[n]{{1 + y}} + \sqrt[n]{{\left( {1 + y} \right)\left( {1 + 2y} \right)}} - \sqrt[n]{{\left( {1 + y} \right)\left( {1 + 2y} \right)}} + ... + \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}}\\\,\,\,\,\, - \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}} + \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1\\= \left( {\sqrt[n]{{1 + y}} - 1} \right) + \sqrt[n]{{1 + y}}\left( {\sqrt[n]{{1 + 2y}} - 1} \right) + ... + \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}}\left( {\sqrt[n]{{1 + ny}} - 1} \right)\\\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + y}} - 1} \right)}}{y}} \right] + \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{1 + y}}.\frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + 2y}} - 1} \right)}}{y}} \right] + ... + \\\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}}.\frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ny}} - 1} \right)}}{y}} \right]\end{array}\)
Tổng quát:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}.\frac{{\sqrt[n]{{1 + ky}} - 1}}{y}} \right]\\= \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}.\frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1} \right]}}{{y\left[ {{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1} \right]}}} \right]\\= \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{(1 + ky - 1).\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}}}{{y{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1}}\\= \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{k.\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}}}{{{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1}} = \frac{k}{n}\end{array}\)
Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y} = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + ... + \frac{n}{n} = \frac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{n} = \frac{{\frac{{n(n + 1)}}{2}}}{n} = \frac{{n + 1}}{2}\)
Chọn: B.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Nếu 2 tam giác ABC và DEF có \(\widehat{A}=\widehat{D}\), \(\widehat{C}=\widehat{F}\) thì:
A.\(\Delta ABC\backsim \Delta DEF\)
B.\(\Delta CAB\backsim \Delta DEF\)
C.\(\Delta ABC\backsim \Delta DFE\)
D. \(\Delta CBA\backsim \Delta DFE\)

Cho hình bên biết AB = 6 cm, AC = 9 cm, \(\widehat{ABD}=\widehat{BCA}\).
Thế thì độ dài AD là:
A. 2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm

Câu 21: Trộn lẫn 50 ml dd HCl 0,12M với 50 ml dd NaOH 0,1M .Vậy pH của dd thu được bằng bao nhiêu?
A.2
B.4
C.3
D.1

Cho dung dịch A chứa H2SO4 0,1M; HNO3 0,2M và HCl 0,3M. Trộn 300 ml dung dịch A với V lít dung dịch B gồm NaOH 0,2M và KOH 0,29M thu được dung dịch C có pH = 2. Giá trị của V là
A.0,134.
B. 0,424.
C.0,441.
D.0,414.

Dung dịch X chứa 0,1 mol Ca2+; 0,3 mol Mg2+; 0,4 mol Cl- và a mol HCO3-. Đun dung dịch X đến cạn thu được muối khan có khối lượng là
A.37,4 gam.
B.49,4 gam.
C.23,2 gam.
D.28,6 gam.

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right)\) bằng?
A.\(5\).
B. \(7.\)
C.\(9.\)
D.\(6.\)

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {3{x^2} - 3x - 8} \right)\) bằng?
A.\(-2.\)
B.\(5.\)
C.\(9.\)
D. \(10.\)

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^2} - 2x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)bằng?
A.\(-3.\)
B. \(-2.\)
C.\(2.\)
D.\(3.\)

Trong các mệnh đề sau đâu là mệnh đề đúng?
A.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\left| {x + 1} \right|}} = - 1\).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\left| {x + 1} \right|}} = - 0.\)
C.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\left| {x + 1} \right|}} = 1.\)
D. Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\left| {x + 1} \right|}}.\)

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{x^3} + 2{x^2} - 1}}\) bằng?
A.\(4.\)
B. \(6.\)
C. \( -4.\)
D. \(-6.\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến