Gọi số đo các cạnh của tam giác vuông là `a;b;c` (`a;b;c>0; 0<a<=b<c`)
Với `a;b` là số đo các cạnh góc vuông và `c` là số đo cạnh huyền
Theo đề ra ta có:
`c^2=a^2+b^2`
`<=> c^2=(a+b)^2-2ab`
mà `ab=2(a+b+c)` (gt)
`=> c^2=(a+b)^2-2.2(a+b+c)`
`<=> c^2=(a+b)^2-4(a+b+c)`
`<=> c^2+4c=(a+b)^2-4(a+b)`
`<=> c^2+4c+4=(a+b)^2-4(a+b)+4`
`<=> (c+2)^2=(a+b-2)^2`
Do `a;b;c>0`
`=> c+2=a+b-2`
`<=> c=a+b-4`
Khi đó `ab=2(a+b+c)`
`<=> ab=2(a+b+a+b-4)`
`<=> ab=4a+4b-8`
`<=> ab-4b-4b+16=8`
`<=> (b-4)(a-4)=8`
Do `a,b∈Z=> a-4> -4; b-4> -4`
$\begin{array}{|c|c|}\hline a-4& 1 & 2 & 4 & 8 \\\hline a&5&6&8&12 \\\hline b-4&8&4&2&1\\\hline b&12&8&6&5\\\hline\end{array}$
Do `a<=b<=>(a;b)=(5;12);(6;8)`
Nên `(a;b;c)=(5;12;13);(6;8;10)`
Vậy ta có các tam giác vuông có cặp cạnh `(5;12;13);(6;8;10)`
