Đáp án:
$\begin{cases}sin15^o = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\\cos15^o = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\\tan15^o = 2- \sqrt{3}\\cot15^o = 2 + \sqrt{3}\end{cases}$
Giải thích các bước giải:
Ta đưa góc $15^o$ vào một hình nhất định sau đó tính tỉ số lượng giác bằng tỉ số các cạnh.
Dựng hình:
Dựng $\widehat{xAy} = 90^o$
Dựng tia $Az$ sao cho $Az$ nằm cùng phía với $Ay$ so với bờ $Ax$ và $\widehat{xAz} = 15^o$
Dựng tia $At$ sao cho $At$ nằm cùng phía với $Ay$ so với bờ $Az$ và $\widehat{zAt} = 30^o$
Trên tia $At$ lấy điểm $E$ bất kì, từ $E$ kẻ đường thẳng vuông góc với $At$, cắt $Az$ tại $F$
Dựng hình chữ nhật $ABCD$ sao cho $E \in BC, \, F \in CD$ (có thể cho $F \in BC, \, E \in CD$)
Từ đó ta được số đo một số góc như sau:
$\begin{cases}\widehat{DAF} = 15^o\\\widehat{FAE} = 30^o\\\widehat{EAB} = 45^o\\\widehat{EFA} = 60^o\\\widehat{BEA} = \widehat{CEF} = 45^o\\\widehat{DFA} = 75^o\end{cases}$
Đặt $EF = 1$ (độ dài quy ước)
$\Rightarrow \begin{cases}EA = EF.tan60^o - \sqrt{3}; \, AF = \dfrac{EF}{cos60^o} = 2\\AB = BE = \dfrac{AE}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\\CE=CF=\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\DF = DC - CF = AB - CF = \dfrac{\sqrt{6}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\\AD = BC = BE + CE = \dfrac{\sqrt{6}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\end{cases}$
Từ đó, ta tính được:
$\begin{cases}sin15^o = \dfrac{DF}{AF} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\\cos15^o = \dfrac{AD}{AF} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\\tan15^o = \dfrac{DF}{AD} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{6} \sqrt{2}}{2}} = 2- \sqrt{3}\\cot15^o = \dfrac{1}{tan15^o} = \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}\end{cases}$
