Đáp án đúng: A
Giải chi tiết: Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{2} \ne m\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - \frac{\pi }{6} + \frac{{m\pi }}{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi \end{array} \right.\,(m,\;n \in \mathbb{Z}).\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\cot \left( {3x + \frac{\pi }{2}} \right) + \tan x = 0 \Leftrightarrow \cot \left( {3x + \frac{\pi }{2}} \right) = - \tan x\\ \Leftrightarrow \cot (3x + \frac{\pi }{2}) = \cot \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 3x + \frac{\pi }{2} = x + \frac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: \(x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z}).\)
Các nghiệm thõa mãn thuộc \({\rm{[0;20]}}\) là: \(\{ 0;\pi ;2\pi ;3\pi ;4\pi ;5\pi ;6\pi {\rm{\} }}\)
Tổng các nghiệm là: \(\pi (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 21\pi \)
Chọn A.
