$\begin{array}{l} 2{\cos ^2}x - 1 = \cos \left( {3x + m} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {3x + m} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = 3x + m + k2\pi \\ 2x = - 3x - m + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - m - k2\pi \\ 5x = - m + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - m - k2\pi \\ x = - \dfrac{m}{5} + k\dfrac{{2\pi }}{5} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \end{array}$
Phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$ nên số nguyên $m\in(-3;3)$ là $m=-2;-1;0;1;2$
Vậy có $5$ số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán
