Đáp án:
Có thể xếp chúng trên một đường tròn sao cho tổng của cả `5` tích của các cặp số đứng cạnh nhau không lớn hơn `1/5`
Giải thích các bước giải:
Gọi `5` số đó là `a,b,c,d,e` `(>=0)`
`=>a+b+c+d+e=1`
Có `(5-1)!` `=24` cách sắp xếp các số này trên một đường tròn.
Giả sử ở mỗi cách sắp xếp, tổng của cả `5` tích của các cặp số đứng cạnh nhau đều lớn hơn `1/5` suy ra tổng của tất cả các cách xếp (gọi là `S`) sẽ lớn hơn `24/5`, ta sẽ đi tìm điều mâu thuẫn.
Ta có:
`S=6\sum a(a+b+c+d+e-a)`
`=6\sum a(1-a)`
`=6\sum (a-a^2)`
`=6\sum a-6\sum a^2`
`=6.1-6\sum a^2`
`=>6-6\sum a^2>24/5`
`=>6-24/6>6\sum a^2`
`=>6/5>6\sum a^2`
`=>\sum a^2<1/5` `(1)`
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức `QM-AM`
Ta có:
`\sqrt{\frac{\sum a^2}{5}}>=\frac{\sum a}{5}=1/5`
`=>\frac{\sum a^2}{5}>=1/25`
`=>\sum a^2>=1/5` (mâu thuẫn với `1`)
`=>` Giả sử là sai
Vậy ta có điều phải chứng minh
