Tổng $ n $ số hạng đầu của cấp số cộng bằng nửa tổng $ n $ số hạng tiếp theo. Tỉ số tổng $ 3n $ số hạng đầu với tổng $ n $ số hạng đầu của cấp số cộng đó là: A. $ 4 $ B. $ 6 $ C. $ 3 $ D. $ 5 $
Đáp án đúng: B Gọi công sai của cấp số cộng $ ({ u _ n }) $ là $ d $ Theo đầu bài: $ { S _ n }=\dfrac{1}{2} ({ S _{2n}}-{ S _ n }) $ $ \begin{align} & \Leftrightarrow 3{ S _ n }={ S _{2n}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \left[ 2{ u _ 1 }+(n-1)d \right]n=\dfrac{1}{2} \left[ 2{ u _ 1 }+(2n-1)d \right]2n \\ & \Leftrightarrow 2{ u _ 1 }=(n+1)d \\ \end{align} $ Ta phải tìm: $ \dfrac{{ S _{3n}}}{{ S _ n }}=\dfrac{\left[ 2{ u _ 1 }+(3n-1)d \right].\dfrac{3}{2} n}{\left[ 2{ u _ 1 }+(n-1)d \right].\dfrac{1}{2} n}=3.\left( \dfrac{(n+1)d+(3n-1)d}{(n+1)d+(n-1)d} \right) $ $ =3.\left( \dfrac{n+1+3n-1}{n+1+n-1} \right)=3.\dfrac{4n}{2n}=6 $