Đáp án:
\(y =\dfrac32\cdot e^{-\tfrac12x^2} + 1\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad y' + xy = x\qquad (*)\\
\text{Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:}\\
\quad y = C.e^{\displaystyle-\int xdx}\\
\Leftrightarrow y = C.e^{-\tfrac12x^2}\\
\text{Do đó nghiệm của $(*)$ có dạng:}\\
\quad y = C(x).e^{-\tfrac12x^2}\\
\Rightarrow y' = C'(x).e^{-\tfrac12x^2} - x.C(x).e^{-\tfrac12x^2}\\
\text{Thay vào $(*)$ ta được:}\\
\quad C'(x).e^{-\tfrac12x^2} - x.C(x).e^{-\tfrac12x^2} + x.C(x).e^{-\tfrac12x^2} = x\\
\Leftrightarrow C'(x) = \dfrac{x}{e^{-\tfrac12x^2}}\\
\Leftrightarrow C'(x) = x.e^{\tfrac12x^2}\\
\Leftrightarrow C(x) = e^{\tfrac12x^2} + C_1\\
\text{Khi đó:}\\
\quad y = \left(e^{\tfrac12x^2} + C_1\right).e^{-\tfrac12x^2}\\
\Leftrightarrow y = 1 + C_1.e^{-\tfrac12x^2}\\
\text{Ta lại có:}\\
\quad y(0) = \dfrac52\\
\Leftrightarrow 1 + C_1.e^{0} = \dfrac52\\
\Leftrightarrow C_1 = \dfrac32\\
\text{Vậy}\ y =\dfrac32\cdot e^{-\tfrac12x^2} + 1
\end{array}\)
