a) Xét $ΔABF$ và $ΔACE$ có:
$\widehat{A}:$ góc chung
$\widehat{F} = \widehat{E} = 90^o$ (nhìn đường kính $BC$)
Do đó $ΔABF \sim ΔACE \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AF}{AE}$
$\Rightarrow AE.AB = AF.AC$
b) Ta có: $\widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$ (nhìn đường kính $BC$)
$\Rightarrow BF\perp AC; \, CE\perp AB$
mà $BF \cap CE = H$
$\Rightarrow H$ là trực tâm của $ΔABC$
$\Rightarrow AH\perp BC$
c) Xét tứ giác $AEHF$ có:
$\widehat{E} + \widehat{F} = 180^o$
Do đó $AEHF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow A,E,H,F$ cùng thuộc một đường tròn
Do $\widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$
và $\widehat{E}, \widehat{F}$ cùng nhìn cạnh $AH$
$\Rightarrow AH$ là đường kính đường tròn ngọa tiếp $AEHF$
$\Rightarrow K$ là trung điểm $AH$
$\Rightarrow A,E,H,F$ cùng thuộc $\left(K;\dfrac{AH}{2}\right)$
d) Ta có: $KE = KH = \dfrac{AH}{2}$
$\Rightarrow ΔKEH$ cân tại $K$
$\Rightarrow \widehat{KEH} = \widehat{KHE}$
Ta lại có:
$\widehat{KHE} = \widehat{AHE} = \widehat{AFE}$ (cùng nhìn cạnh $AE$)
$\widehat{AFE} = \widehat{EBC}$ (góc ngoài của tứ giác nội tiếp $BEFC$)
$\Rightarrow \widehat{KEH} = \widehat{EBC}$
Mặt khác:
$OE = OC = R$
$\Rightarrow ΔOEC$ cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{OEC} = \widehat{OCE} = \widehat{BCE}$
mà $\widehat{BCE} + \widehat{EBC} = 90^o$
nên $\widehat{OEC} + \widehat{EBC} = 90^o$
hay $\widehat{OEC} + \widehat{KEH} = \widehat{KEO} = 90^o$
$\Rightarrow KE\perp OE$
