a) Ta có:
$M$ là trung điểm $AE$
$Q$ là trung điểm $CE$
$\Rightarrow MQ$ là đường trung bình trong $ΔACE$
$\Rightarrow MQ//AC$
hay $MQ//AB$
Tương tự,
$N$ là trung điểm $CD$
$P$ là trung điểm $BD$
$\Rightarrow NP$ là đường trung bình trong $ΔBCD$
$\Rightarrow NP//BC$
hay $NP//AB$
Xét tứ giác $MNPQ$ có:
$MQ//NP$ $(//AB)$
Do đó $MNPQ$ là hình thang, cạnh đáy $MQ, NP$ $(1)$
Gọi $I$ là trung điểm $AC$
$K$ là trung điểm $BC$
⇒ $NI$ là đường trung bình trong $ΔACD$
⇒ $NI//AD$
$MI$ là đường trung bình trog $ΔACE$
⇒ $MI//CE$
mà $AD//CE$ $(\widehat{CAD} = \widehat{BCE} = 60^o)$
nên $MI//NI$
⇒ $M,N,I$ thẳng hàng
⇒ $MN = NI - MI$
mà $MI = \dfrac{CE}{2}; \, NI = \dfrac{AD}{2}$
⇒ $MN = \dfrac{AD - CE}{2}$
Bằng cách chứng minh tương tự, ta được:
$PQ = \dfrac{DC - BE}{2}$
mà $AD = DC; \, CE = BE$
nên $MN = PQ$ $(2)$
Từ $(1)(2) ⇒ MNPQ$ là hình thang cân
b) Do $MNPQ$ là hình thang cân
nên $MP = NQ$
Ta lại có $NQ$ là đường trung bình trong $ΔDCE$ $(DN=NC;\, CQ=QE)$
⇒ $NQ = \dfrac{DE}{2}$
⇒ $MP = \dfrac{DE}{2}$
