a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
Ta có NP || CB ( NP là đường trung bình của tam giác DCB)
MQ || AC ( MQ là đường trung bình của tam giác EAC)
Mà A, C , B thẳng hàng
=> NP || MQ
Tứ giác MNPQ có NP || MQ nên là hình thang
Gọi F là trung điểm của DE , khi đó ta có
NF || CE ( NF là đường trung bình của tam giác DCE) (1)
MF || AD ( MF là đường trung bình của tam giác EAD) (2)
mặt khác ta có \(\angle DAC = \angle ECB = {60^0}\) ( các góc của các tam giác đều)
mà \(\angle DAC ; \angle ECB \)là hai góc đồng vị nên\(\angle DAC ; \angle ECB \) AD|| CE (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra M, N, F thẳng hàng
=> MN || AD => \(\angle ENM = \angle EAD\) (hai góc đồng vị)
lại có MQ || AC =>\(\angle EMQ = \angle EAC\) ( hai góc đồng vị)
=>\(\angle ENM + \angle EMQ = \angle EAD + \angle EAC \Leftrightarrow \angle NMQ = \angle DAC = {60^0}\)
Chứng minh tương tự ta có \(\angle PQM = {60^0}\)
Hình thang MNPQ có hai góc cùng kề một đáy bằng nhau nên MNPQ là hình thang cân
b) Chứng minh MP = 1/2 DE
Ta có NQ là đường trung bình của tam giác CDE nên NQ=1/2 DE
Mặt khác NQ = MP ( hai đường chéo của hình thang cân MNPQ)
=> MP = 1/2 DE (đpcm)
