Đáp án:

a) \(32,78km/h\)

b) \(\dfrac{{23}}{{15}}h\)

Giải thích các bước giải:

a) Quãng đường xe A đi là:

\({s_1} = 0,25.10\left( {1 + 2 + 3 + ... + n} \right) = 2,5.\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 1,25n\left( {n + 1} \right)\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{s_1} = 81 \Rightarrow 1,25n\left( {n + 1} \right) = 81\\
 \Rightarrow n = 7,57
\end{array}\)

Với n = 9 thì: 

\({s_1} = 1,25n\left( {n + 1} \right) = 70km\)

Thời gian xe A đi là:

\(t = 7\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{12}}} \right) + \dfrac{{81 - 70}}{{80}} = \dfrac{{593}}{{240}}h\)

Vận tốc xe A là:

\(v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{{81}}{{\dfrac{{593}}{{240}}}} = 32,78km/h\)

b) Quãng đường xe B đi là:

\({s_2} = n.\dfrac{1}{3}.30 = 10n\)

Với n = 5 ta có \({s_1} + {s_2} = 87,5km > AB\)

Do đó 2 xe gặp nhau trước khi xe A thực hiện xong 5 quá trình chuyển động.

Sau khi xe A thực hiện xong 4 quá trình, ta có: \({s_1} + {s_2} = 65km\)

Hai xe cần đi tiếp quãng đường là:

\(s = 81 - 65 = 16km\)

Ta có: \(16 = 5{v_1}t + {v_2}t = 80t \Rightarrow t = 0,2h < \dfrac{1}{3}h\) (thỏa mãn)

Vậy thời gian để 2 xe gặp nhau là: \(T = 0,2 + 4.\dfrac{1}{3} = \dfrac{{23}}{{15}}h\)

Tổng quãng đường mà xe đi được trong n lần:

`S = S_1 + S_2 + ...... + S_n`

`= v_1/4(1 + 2 + ...... + n) = v_1/4 . (n(n + 1))/2`

Với `v_1 = 10km/h`

`=> S = 1,25n(n + 1)  (km)` (Với n nguyên)

a, Gọi `t_1` là thời gian kể từ khi hai xe xuất phát đến khi gặp nhau.

`t_1 = n(1/4 + 1/12) = n/3`

Khi 2 xe gặp nhau: `S + v_2t_1 = 81`

`⇔ 1,25n(n + 1) + 30 . n/3 = 81`

`⇔ n = 4,7`

Vì `n ∈ Z` nên `n = 4`. Vậy sau 4 lần đi và nghỉ thì xe 1 đã đi được quãng đường là `S_1 = 1,25 . 4(4 + 1) = 25km` và `t_1 = n/3 = 4/3h`.

Lúc này, xe 1 đang cách A một đoạn `A_1A = 25km`.

Trong `t_1` giờ, xe 2 đi được:

`S_2 = v_2t_1 = 30 . 4/3 = 40km`

Lúc này xe 2 cách B một đoạn `B_1A = 41km`.

Khoảng cách giữa `A_1` và `B_1` là: `A_1B_1 = 41 - 25 = 16km`

Để 2 xe gặp nhau thì xe 1 tiếp tục đi lần 5 với vận tốc `5v_1`.

Gọi `Δt` là thời gian kể từ khi đi lần 5 đến khi 2 xe gặp nhau.

Ta có: `5v_1 . Δt + v_2 . Δt = A_1B_1`

`<=> 80Δt = 16`

`<=> Δt = 0,2h`

Vậy thời điểm 2 xe gặp nhau kể từ khi xuất phát là:

`t = t_1 + Δt = 23/15h = 92'`

b, Gọi `t_1` là thời gian kể từ khi xe 1 xuất phát đến khi 2 xe gặp nhau.

`t_1 = n(1/4 + 1/12) = n/3`

Khi 2 xe gặp nhau:

`S + v_2(t_1 - 0,2) = 81`

`=> n = 4,98`

Vì `n ∈ Z` nên `n = 4`. Vậy sau 4 lần đi và nghỉ thì xe 1 đã đi được `S_1 = 25km` và thời gian đi của xe là `t_1 = 4/3h`.

Lúc này xe 1 đang ở vị trí `A_1` cách `A` 25cm.

Trong thời gian `t_2 = (4/3 - 0,2)h`, xe 2 đi được:

`S_2 = v_2t_2 = 30(4/3 - 0,2) = 34km`.

`=> B_1A = 47km` (`B_1` là vị trí của xe 2)

Khoảng cách giữa `A_1` và `B_1` là:

`A_1B_1 = 47 - 25 = 22km`

Gọi `Δt` laf thời gian kể từ khi đi lần 5 đến khi 2 xe gặp nau.

Ta có: `5v_1 . Δt + v_2 . Δt = A_1B_1`

`<=> 80Δt = 22`

`=> Δt = 0,275h`

Vậy thời điểm 2 xe gặp nhau là:

`t = t_1 + Δt = 193/120h = 96,5'`

Vị trí gặp nhau cách A: `x = S_1 + 5v_1 . Δt = 38,75km`.