Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi số đã cho là $\overline{abc}$ với $\left\{\begin{matrix}
a;b;c \in N & \\
1\leq a\leq 9 & \\
0\leq b;c\leq 9 &
\end{matrix}\right.$
$⇒\overline{abc}=11(a^2+b^2+c^2)⇔100a+10b+c=11(a^2+b^2+c^2)$ (1)
Theo tính chất chia hết cho 11, ta có $a+c-b$ chia hết cho 11
Mà $\left\{\begin{matrix}
1\leq a+c\leq 18 & \\
0\leq b\leq 9 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow -8\leq a+c-b\leq 18$
$⇒\left[ \begin{array}{l}a+c-b=0\\a+c-b=11\end{array} \right.$
TH1:
$a+c-b=0⇔b=a+c$ thế vào (1)
$⇒100a+10(a+c)+c=11(a^2+(a+c)^2+c^2)$
$⇔110a+11c=11(2a^2+2c^2+2ac)$
$⇔2a^2+2(c-5)a+2c^2-c=0$ (2)
$Δ'=(c-5)^2-2(2c^2-c) \geq 0⇔-3c^2-8c+25 \geq 0$
$⇔\dfrac{-4-\sqrt{91}}{3}\leq c\leq \dfrac{-4+\sqrt{91}}{3}$
$⇒\left[ \begin{array}{l}c=0\\c=1\end{array} \right.$
- Với $c=1$ thế vào (2) $⇒2a^2-8a+1=0$ không có nghiệm tự nhiên (loại)
- Với $c=0$ thế vào (2) $⇒2a^2-10a=0⇒a=5$
$⇒b=a+c=5$
$⇒\overline{abc}=550$
TH2: $a+c-b=11⇒b=a+c-11$ thế vào (1):
$⇒100a+10(a+c-11)+c=11(a^2+(a+c-11)^2+c^2)$
$⇔2a^2+2(c-16)+2c^2-23c+131=0$ (3)
$Δ'=(c-16)^2-2(2c^2-23c+131)=-3c^2+14c-6 \geq 0$
$⇒\dfrac{7-\sqrt{31}}{3}\leq c\leq \dfrac{7+\sqrt{31}}{3}$
$⇒c=\{1;2;3;4\}$
Lần lượt thế 4 giá trị của $c$ vào (3) ta thấy chỉ có $c=3$ cho nghiệm $a$ tự nhiên
$c=3⇒2a^2-26a+80=0$
$⇒\left[ \begin{array}{l}a=5\Rightarrow b=-3(loại)\\a=8\Rightarrow b=0\end{array} \right.$
$⇒\overline{abc}=803$
:">
