`a)` `BC=a; \hat{C}=α\ (0°<α<90°)`
Vẽ $AH\perp BC$ tại $H$
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$
`=>sinC=sinα={AH}/{AC}`
`=>AH=AC.sinα`
$\\$
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>cosC=cosα={AC}/{BC}`
`=>AC=BC.cosα=a.cosα`
$\\$
`=>AH=AC.cosα=a.sinα . cosα`
$\\$
`S_ {∆ABC}=1/ 2 AH.BC`
`=1/ 2 a.sinα cosα .a=1/2a^2 sinα cosα`
Vậy `S_{∆ABC}=1/2a^2 sinα cosα`
$\\$
`b)` Xét $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>sinα={AB}/{BC}; cosα={AC}/{BC}`
Tính chất: `sin^2 α+cos^2α=1`
$\\$
Với mọi `α` thỏa mãn `0<α<90°` ta có:
`\qquad (sinα-cosα)^2\ge 0`
`=>sin^2α-2sinα cosα+cos^2α\ge 0`
`=>sin^2α+cos^2α\ge 2sinα cosα`
`=>1\ge 2sinα cosα`
`=>1/ 2\ge sinα cosα`
`=>sinα cosα\le 1/2`
`=>1/2 a^2 sinα cosα\le 1/2 a^2 . 1/2=1/ 4 a^2`
`=>S_{∆ABC}\le 1/ 4 a^2`
Dấu "=" xảy ra khi:
`\qquad sinα-cosα=0<=>sinα=cosα`
`<=>{AB}/{BC}={AC}/{BC}<=>AB=AC`
`=>∆ABC` vuông cân tại $A$
`=>\hat{C}=45°`
`=>α=45°`
Vậy `α=45°` thì $GTLN$ của $S_{∆ABC}$ bằng `1/4 a^2`
