Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
Ta có hình vẽ, khi đó chiến sĩ ở vị trí A, mục tiêu ở vị trí C.
Quãng đường chiến sĩ phải bơi là AD, quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là DC.
Ta có: \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{1000}^2} - {{100}^2}}  = 300\sqrt {11} \,\,\left( m \right).\)
Đặt \(BD = x\,\,\,\left( m \right),\,\,\left( {0 < x < 300\sqrt {11} } \right).\)
\( \Rightarrow \) Quãng đường chiến sĩ phải bơi là: \(AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{100}^2}} \,\,\left( m \right).\)
Quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là: \(CD = BC - BD = 300\sqrt {11}  - x\,\,\left( m \right).\)
\( \Rightarrow \) Thời gian chiến sĩ đến được mục tiêu là: \(t = \dfrac{{AD}}{a} + \dfrac{{DC}}{{3a}}\) 
Tìm \(x\) để \(t\left( x \right)\) đạt \(Min\) rồi suy ra quãng đường chiễn sĩ phải bơi.Giải chi tiết:
Gọi vận tốc của chiến sĩ khi bơi là \(a\,\,\left( {m/s} \right),\,\,\left( {a > 0} \right).\)
\( \Rightarrow \) Vận tốc của chiến sĩ khi chạy bộ là: \(3a\,\,\left( {m/s} \right).\)
Ta có hình vẽ, khi đó chiến sĩ ở vị trí A, mục tiêu ở vị trí C.
Quãng đường chiến sĩ phải bơi là AD, quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là DC.
Ta có: \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{1000}^2} - {{100}^2}}  = 300\sqrt {11} \,\,\left( m \right).\)
Đặt \(BD = x\,\,\,\left( m \right),\,\,\left( {0 < x < 300\sqrt {11} } \right).\)
\( \Rightarrow \) Quãng đường chiến sĩ phải bơi là: \(AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{100}^2}} \,\,\left( m \right).\)
Quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là: \(CD = BC - BD = 300\sqrt {11}  - x\,\,\left( m \right).\)
\( \Rightarrow \) Thời gian chiến sĩ đến được mục tiêu là:
\(\begin{array}{l}t = \dfrac{{AD}}{a} + \dfrac{{DC}}{{3a}} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {{100}^2}} }}{a} + \dfrac{{300\sqrt {11}  - x}}{{3a}}\\\,\,\, = \dfrac{1}{{3a}}\left( {3\sqrt {{x^2} + {{100}^2}}  + 300\sqrt {11}  - x} \right)\end{array}\) 
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = 3\sqrt {{x^2} + {{100}^2}}  - x + 300\sqrt {11} \) trên \(\left( {0;\,\,300\sqrt {11} } \right)\) ta có:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{3x}}{{2\sqrt {{x^2} + {{100}^2}} }} - 1\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 3x = 2\sqrt {{x^2} + {{100}^2}} \) \( \Leftrightarrow 9{x^2} = 4{x^2} + {4.100^2}\)
\( \Leftrightarrow 5{x^2} = {4.100^2}\)  \( \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{4}{5}{.100^2}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}.100 = 40\sqrt 5 \,\,\left( {tm} \right)\)
\( \Rightarrow \) Quãng đường bơi mà chiến sĩ phải bơi để đến được mục tiêu nhanh nhất là: \(AD = \sqrt {{x^2} + {{100}^2}}  = \sqrt {\dfrac{4}{5}{{.100}^2} + {{100}^2}} \) \( = \sqrt {\dfrac{9}{5}{{.100}^2}}  = 60\sqrt 5 \,\,m.\)
Chọn B.