Trong không gian Oxyz cho A(1;−1;2), \(f \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \ \x = 1 \ \x = 3 \end{array} \right. \), C(0;1;−2). Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S=MA.MB+2MB.MC+3MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T=12a+12b+c có giá trị là A. T=3. B. T=−3. C. T=1. D. T=−1.
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:S=MA.MB+2MB.MC+3MC.MA =21[MA2+MB2−(MA−MB)2+2MB2+2MC2−2(MB−MC)2+3MA2+3MC2−3(MA−MC)2] =21[4MA2+3MB2+5MC2−AB2−2BC2−3AC2] Xác định tọa độ điểm I(m;n;p) sao cho 4IA+3IB+5IC=0⇔⎩⎨⎧4(1−m)+3(−2−m)+5(0−m)=04(−1−n)+3(0−n)+5(1−n)=04(2−p)+3(3−p)+5(−2−p)=0⇔⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧m=−61n=121p=127⇒I(−61;121;127) Khi đó: S=21[4MA2+3MB2+5MC2−AB2−2BC2−3AC2]=21[4(MI+IA)2+3(MI+IB)2+5(MI+IC)2−AB2−2BC2−3AC2]=21[12MI2+2MI.(4IA+3IB+5IC)+4IA2+3IB2+5IC2−AB2−2BC2−3AC2]=21[12MI2+4IA2+3IB2+5IC2−AB2−2BC2−3AC2](do4IA+3IB+5IC=0) ⇒S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI ngắn nhất ⇔M là hình chiếu của I lên (Oxy) ⇔M(−61;121;0)⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a=−61b=121c=0⇒T=12a+12b+c=12.6−1+12.121+0=−1. Chọn: D