Trong không gian Oxyz cho điểm \(M \left( 1;3;-2 \right) \). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng \( \left( P \right) \) đi qua M và cắt các trục \(x'Ox;y'Oy,z'Oz \) lần lượt tại ba điểm phân biệt \(A,B,C \) sao cho \(OA=OB=OC \ne 0 \) A.3 B.2 C.1 D.4
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Giả sử \(A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)\), ta có: \(OA=\left| a \right|;\,\,OB=\left| b \right|;\,\,OC=\left| c \right|\) \(OA=OB=OC\ne 0\Leftrightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|\ne 0\) TH1: \(a=b=c\Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1\Leftrightarrow x+y+z-a=0\) \(M\in \left( ABC \right)\Rightarrow 2-a=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow \left( P \right):\,\,x+y+z-2=0\) TH2: \(a=b=-c\Leftrightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{-a}=1\Leftrightarrow x+y-z-a=0\) \(M\in \left( ABC \right)\Rightarrow 6-a=0\Leftrightarrow a=6\Rightarrow \left( P \right):\,\,x+y-z-6=0\) TH3: \(a=-b=c\Leftrightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}+\frac{z}{a}=1\Leftrightarrow x-y+z-a=0\) \(M\in \left( ABC \right)\Rightarrow -4-a=0\Leftrightarrow a=-4\Rightarrow \left( P \right):\,\,x-y+z+4=0\) TH4: \(-a=b=c\Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}+\frac{z}{-a}=1\Leftrightarrow x-y-z-a=0\) \(M\in \left( ABC \right)\Rightarrow 0-a=0\Leftrightarrow a=0\Rightarrow \left( P \right):\,\,x-y-z=0\) Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.