- Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1;3; - 1} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).- Tìm tọa độ điểm \(N = \Delta \cap \left( P \right)\).- Tìm tọa độ điểm \(I\) là trung điểm của \(MN\).- Viết phương trình mặt phẳng trung trực của \(MN\) đi qua \(I\) và song song với \(\left( P \right)\).Giải chi tiết:Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z = 1\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {1; - 2;2} \right)\).Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\left( {1;3; - 1} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\), khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 - 2t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).Vì \(N\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\left( P \right)\) nên \(N = \Delta \cap \left( P \right)\).Vì \(N \in \Delta \Rightarrow N\left( {1 + t;3 - 2t; - 1 + 2t} \right)\).Vì \(N \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + t - 2\left( {3 - 2t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow 9t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{8}{9}\).\( \Rightarrow N\left( {\dfrac{{17}}{9};\dfrac{{11}}{9};\dfrac{{ - 1}}{9}} \right)\).Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\) ta có \(I\left( {\dfrac{{13}}{9};\dfrac{{19}}{9};\dfrac{{ - 1}}{9}} \right)\).Do mặt phẳng trung trực của \(MN\) vuông góc với \(MN\) nên song song với \(\left( P \right)\), do đó mặt phẳng trung trực của \(MN\) cũng nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 2;2} \right)\) là 1 VTPT.Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của \(MN\) là: \(1\left( {x - \dfrac{{13}}{9}} \right) - 2\left( {y - \dfrac{{19}}{9}} \right) + 2\left( {z + \dfrac{1}{9}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 2y + 2z + 3 = 0\).
