- Tham số hóa tọa độ điểm \(M \in \left( d \right)\), thay vào phương trình \(\left( P \right)\), từ đó tìm tọa độ điểm \(M\). - Tham số hóa tọa độ điểm \(I \in d\). Viết PTTS đường thẳng \(AI\). - Tìm tọa độ \(A = AI \cap \left( P \right)\). - Giải phương trình \(AI = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\).Giải chi tiết:Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\) Ta có \(M = d \cap \left( P \right)\). Suy ra \(M\left( {1 + 2t;1 + t; - t} \right)\) Và \(M \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + 2t + 2 + 2t - t - 6 = 0 \Leftrightarrow 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\). Suy ra \(M\left( {3;2; - 1} \right)\). Gọi \(I\left( {1 + 2m;1 + m; - m} \right) \in d\). Ta có \(A\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(AI\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2m + s}\\{y = 1 + m + 2s}\\{z = - m + s}\end{array}} \right.\) Ta có: \(A = AI \cap \left( P \right) \Rightarrow A\left( {1 + 2m + s;1 + m + 2s; - m + s} \right) \in AI\). Và \(A \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + 2m + s + 2 + 2m + 4s - m + s - 6 = 0 \Leftrightarrow s = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}m\) Suy ra \(A\left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}m;2;\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}m} \right)\) \(AI = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3m - 3} \right|}}{{\sqrt 6 }}.\dfrac{{3\sqrt 2 \left| {m - 1} \right|}}{2} = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 4\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1 = 2}\\{m - 1 = - 2}\end{array}} \right.\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 3}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\) Với \(m = 3 \Rightarrow I\left( {7;4; - 3} \right)\) (loại) Với \(m = - 1 \Rightarrow I\left( { - 1;0;1} \right)\) (nhận) Vậy \(2a + b - c = 2.\left( { - 1} \right) + 0 - 1 = - 3\).
