Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Không mất tính tổng quát ta giả sử đường cao của hình trụ trùng với \(AB\).
- Tính bán kính mặt cầu.
- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính đường tròn đáy hình nón.
- Sử dụng BĐT Cô-si tìm GTLN của thể tích khối nón.Giải chi tiết:
Không mất tính tổng quát ta giả sử đường cao của hình trụ trùng với \(AB\).
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu đường kính \(AB\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón \(\left( N \right)\).
Đặt \(R,\,\,r\) lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Ta có \(AB = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}}  = \sqrt {36}  = 6\) \( \Rightarrow R = \dfrac{1}{2}AB = 3\).
Gọi \(h\) là chiều cao hình trụ \(\left( {h > 3} \right)\) \( \Rightarrow IH = h - 3\).
\( \Rightarrow r = \sqrt {{3^2} - {{\left( {h - 3} \right)}^2}}  = \sqrt { - {h^2} + 6h} \).
\( \Rightarrow \) Thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .\left( { - {h^2} + 6h} \right).h = \dfrac{1}{3}\pi {h^2}\left( {6 - h} \right)\).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \({h^2}\left( {6 - h} \right) = \dfrac{1}{2}h.h.\left( {12 - 2h} \right) \le \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{{h + h + 12 - 2h}}{3}} \right)^3} = 32\).
\( \Rightarrow {V_{\left( N \right)}} \le \dfrac{1}{3}\pi .32 = \dfrac{{32\pi }}{3}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow h = 12 - 2h = h = 4\) \( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{x_H} - 2;\,\,{y_H} - 1;\,\,{z_H} - 3} \right) = \dfrac{2}{3}\left( {4;4;2} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} - 2 = \dfrac{8}{3}\\{y_H} - 1 = \dfrac{8}{3}\\{z_H} - 3 = \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \dfrac{{14}}{3}\\{y_H} = \dfrac{{11}}{3}\\{z_H} = \dfrac{{13}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{{14}}{3};\dfrac{{11}}{3};\dfrac{{13}}{3}} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón đi qua \(H\left( {\dfrac{{14}}{3};\dfrac{{11}}{3};\dfrac{{13}}{3}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;1} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón:
\(2\left( {x - \dfrac{{14}}{3}} \right) + 2\left( {y - \dfrac{{11}}{3}} \right) + 1\left( {z - \dfrac{{13}}{3}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 21 = 0\).
Vậy \(b + c + d = 2 + 1 - 21 =  - 18\).
Chọn C