\(\begin{array}{l}
U = \{u_1 = (m-2;2;5);u_2 = (2;1;3);u_3=(3;1;3)\},\\
V= \{v_1 = (m-1;2;1);v_2 = (m,2,1);v_3=(-1;7;4)\}.\\
a)\\
+)\quad \text{Xét}\ x_1u_1 + x_2u_2 + x_3u_3 = \theta\\
\Leftrightarrow x_1(m-2;2;5) + x_2(2;1;3) + x_3(3;1;3) = (0;0;0)\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m-2)x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0\\\qquad\ \ \ \ 2x_1 +\ x_2\ +\ x_3 = 0\\\qquad\ \ \ \ 5x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2x_1 + x_2 + x_3 = 0\\\qquad\ \ x_2 +x_2 = 0\\\qquad \qquad \quad x_3 = 0\end{cases} \\
\Leftrightarrow x_1 = x_2 = x_3 = 0\\
\Rightarrow \text{U độc lập tuyến tính}\\
\Rightarrow \text{U là một cơ sở của $\Bbb R^3$}\\
+)\quad \text{Xét}\ x_1v_1 + x_2v_2 + x_3v_3 = \theta\\
\Leftrightarrow x_1(m-1;2;1) + x_2(m;2;1) + x_3(-1;7;4) = (0;0;0)\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m-1)x_1 + mx_2 - x_3 = 0\\\qquad\ \ \ 2x_1 + 2x_2 + 7x_3 =0\\\qquad\quad\ x_1 +\ x_2 +\ 4x_3 = 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2x_1\ +\ 2x_2\ +\ 7x_2 =0\\2x_2 + (-7m + 5)x_3 = 0\\\qquad \qquad \qquad \quad x_3 =0\end{cases}\\
\Leftrightarrow x_1 = x_2 = x_3 = 0\\
\Rightarrow \text{V độc lập tuyến tính}\\
\Rightarrow \text{V là một cơ sở của $\Bbb R^3$}\\
b)\\
\quad \text{Gọi $x_V = (x_1;x_2;x_3)$ là tọa độ của vectơ $x$ theo cơ sở $V$}\\
\Leftrightarrow x_1v_1 + x_2v_2 + x_3v_3 = x\\
\Leftrightarrow x_1(m-1;2;1) + x_2(m;2;1) + x_3(-1;7;4) = (m;2;-3)\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m-1)x_1 + mx_2 - x_3 = m\\\qquad\ \ \ 2x_1 + 2x_2 + 7x_3 =2\\\qquad\quad\ x_1 +\ x_2 +\ 4x_3 = -3\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}2x_1\ +\ 2x_2\ +\ 7x_3 = 2\\2x_2 + (-7m+5)x_3 = 2\\\qquad \qquad \qquad \quad x_3 = -8\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = 8 + 28m\\x_2 = 21 - 28m\\x_3 = -8\end{cases}\\
\text{Vậy}\ x_V = (8+28m;21-28m;-8)\\
c)\\
\quad \text{Gọi ${v_1}_U = (x_1;x_2;x_3)$ là tọa độ của vectơ $v_1$ theo cơ sở $U$}\\
\Leftrightarrow x_1u_1 + x_2u_2 + x_3u_3 = v_1\\
\Leftrightarrow x_1(m-2;2;5) + x_2(2;1;3) + x_3(3;1;3) = (m-1;2;1)\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m-2)x_1 + 2x_2 + 3x_3 = m-1\\\qquad\ \ \ \ 2x_1 +\ x_2\ +\ x_3 = 2\\\qquad\ \ \ \ 5x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 1\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}2x_1 + x_2 + x_3 = 2\\\qquad\ \ \ x_2 + x_3 = -8\\\qquad \qquad \quad x_3 = -4m + 25 \end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = 5\\x_2 = -33 + 4m\\x_3 = -4m + 25 \end{cases}\\
\Rightarrow {v_1}_U = (5;-33 + 4m;25 -4m)\\
\Rightarrow [v_1]_U = \left[\matrix{5\\-33+4m\\25-4m}\right]\\
\text{Tương tự, ta được:}\\
[v_2]_U = \left[\matrix{5\\-34+4m\\26-4m}\right]\\
[v_3]_U = \left[\matrix{17\\-114+17m\\87-17m}\right]\\
\text{Vậy}\ P_{U \to V} = \left[\matrix{5&5&17\\-33+4m&-34+4m&-114+17m\\25-4m&26-4m&87-17m} \right]\\
\text{Gọi ${u_1}_V = (x_1;x_2;x_3)$ là tọa độ của vectơ $u_1$ theo cơ sở $V$}\\
\Leftrightarrow x_1v_1 + x_2v_2 + x_3v_3 = u_1\\
\Leftrightarrow x_1(m-1;2;1) + x_2(m;2;1) + x_3(-1;7;4) = (m-2;2;5)\\
\Leftrightarrow \begin{cases}(m-1)x_1 + mx_2 - x_3 = m-2\\\qquad\ \ \  2x_1 + 2x_2 + 7x_3 = 2\\\qquad \quad\ \ x_1 +\ x_2 + 4x_3 = 5\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}\quad\ \ 2x_1 + 2x_2 + 7x_3 = 2\\2x_2 + (-7m + 5)x_3 = -2\\\qquad \qquad \qquad \quad\ x_3 = 8\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = -6-28m\\x_2 =-21 + 28m\\ x_3 = 8\end{cases}\\
\Rightarrow {u_1}_V = (-6-28m;-21+28m;8)\\
\Rightarrow [u_1]_V = \left[\matrix{-6-28m\\-21+28m\\8}\right]\\
\text{Tương tự ta được:}\\
\Rightarrow [u_2]_V = \left[\matrix{-\dfrac{13}{2}-17m\\-10+17m\\5}\right]\\
\Rightarrow [u_3]_V = \left[\matrix{-\dfrac{15}{2}-17m\\-9+17m\\5}\right]\\
P_{V \to U} = \left[\matrix{-6-28m&-\dfrac{13}{2}-17m&-\dfrac{15}{2} -17m\\-21 + 28m&-10+17m&-9+17m\\8&5&5} \right]\\
d)\\
\text{Ta có:}\\
\quad [x]_U = P_{U \to V}.[x]_V\\
\Leftrightarrow [x_U] = \left[\matrix{5&5&17\\-33+4m&-34+4m&-114+17m\\25-4m&26-4m&87-17m} \right]\cdot \left[\matrix{8+28m\\21-28m\\-8}\right]\\
\Leftrightarrow [x_U] = \left[\matrix{9\\8m-66\\-8m+50}\right]
\end{array}\)