Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d: \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} \). Khoảng cách từ A(1;0;3) đến d bằng: A.\(\frac{{\sqrt {70} }}{7}\) B.\(\frac{5}{3}\) C.\(\frac{{2\sqrt 5 }}{7}\) D.\(\frac{6}{5}\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta có: \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên D. \(H \in d \Rightarrow H(1 + 2t;2 + 3t;3 + t)\). Ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {2t;2 + 3t;t} \right)\\\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;3;1} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\ \Leftrightarrow 2.2t + 3.(2 + 3t) + t = 0 \Leftrightarrow 14t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{3}{7} \Rightarrow H\left( {\frac{1}{7};\frac{5}{7};\frac{{18}}{7}} \right)\end{array}\) Khoảng cách từ A đến d bằng AH Có \(\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{6}{7};\frac{5}{7}; - \frac{3}{7}} \right)\). Suy ra \(AH = \sqrt {{{\left( { - \frac{6}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{3}{7}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {70} }}{7}\) Chọn A