Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; -3), C(-1; -2; -3) và mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0 Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. A.D() B.D() C.D() D.D()
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Ta có (S): (x - 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 4 suy ra (S) có tâm I(1; 0;-1), bán kính R = 2 Và = (1; -1; -4); = (-1; -3; -4) Mặt phẳng (ABC) có một vec tơ pháp tuyến là = (-8; 8; -4) Suy ra (ABC) có phương trình: -8x + 8(y - 1) - 4(z - 1) = 0⇔ 2x - 2y + z + 1= 0 Ta có VABCD = .d(D; (ABC)).SABC nên VABCD lớn nhất khi và chỉ khi d(D; (ABC)) lớn nhất Gọi D1D2 là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Ta thấy với D là 1 điểm bất kì thuộc (S) thì d(D; (ABC)) ≤ max {d (D1; (ABC)); d ( D2, (ABC))} Dấu = xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2 Đường thẳng D1D2 đi qua I(1; 0; -1) và có vecto pháp tuyến là = (2; -2; 1) Do đó (D1D2) có phương trình: Tọa độ điểm D1 và D2 thỏa mãn hệ ⇔ => D1() hoặc D2 () Ta thấy: d(D1; (ABC)) > d( D2, (ABC)) Vậy điểm D() là điểm cần tìm