Nếu $m=4$ thì $y=1$, ta có $h=1$(1)
Nếu $m=3$ thì $x=-1$, ta có $h=1$(2)
Xét $m\ne 3, m\ne 4$. Gọi A là giao điểm của đường thẳng với trục tung. Với $x=0$ thì $y=\dfrac{1}{m-3}$, do đó$OA=\dfrac{1}{|m-3|}$
Gọi B là giao điểm của đường thẳng với trục hoành. Với $y=0$ thì $x=\dfrac{1}{m-4}$, do đó $OB=\dfrac{1}{|m-4|}$
Ta có
$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{A^2}}} = {\left( {m - 3} \right)^2} + {\left( {m - 4} \right)^2}\\ = 2{m^2} - 14m + 25 = 2{\left( {m - \dfrac{7}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow {h^2} \le 2(3) \end{array}$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $\max h=\sqrt 2$ khi và chỉ khi $m=\dfrac{7}{2}$
