Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$A\left( { - 1,0} \right);B\left( { - 3,2} \right);C\left( {3,1} \right)$

a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2,2} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {4,1} \right)\\
 \Rightarrow 4\overrightarrow {AC}  = \left( {16,4} \right)
\end{array}$

Khi đó:

$\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  + 4\overrightarrow {AC}  = \left( {14,6} \right)$

Vậy $\overrightarrow u  = \left( {14,6} \right)$

b) Ta có:

$ABCD$ là hình bình hành

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - {x_D} =  - 2\\
1 - {y_D} = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = 5\\
{y_D} =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $D\left( {5, - 1} \right)$

c) Gọi $M(x,y)$

Ta có:

$\overrightarrow {AM}  = \left( {x + 1,y} \right);\overrightarrow {BM}  = \left( {x + 3,y - 2} \right)$ và $\overrightarrow {BC}  = \left( {6, - 1} \right)$

Do $M$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$

$ \Leftrightarrow AM \bot BC = M$

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = 0$ và $\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BC} $ cùng phương

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + 1} \right).6 - y = 0\\
\dfrac{{x + 3}}{6} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6x - y =  - 6\\
 - x - 6y =  - 9
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 27}}{{37}}\\
y = \dfrac{{60}}{{37}}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $M\left( {\dfrac{{ - 27}}{{37}};\dfrac{{60}}{{37}}} \right)$