a) Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC.
Khi đó: AH đi qua A nhận $\vec{BC}$ làm vecto pháp tuyến.
Mà $\vec{BC}=(1;8)$ nên AH có phương trình tổng quát là:
$1(x-2)+8(y-1)=0$ hay $x+8y-10=0$
b) Ta có:
$\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{( - 3 - 1)}^2}} = \sqrt {17} \\
AC = \sqrt {{{(2 - 2)}^2} + {{(5 - 1)}^2}} = 4\\
BC = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(5 - ( - 3))}^2}} = \sqrt {65}
\end{array}$
Nửa chu vi của $\Delta ABC$ là: $p=\dfrac{AB+BC+AC}{2}=\dfrac{\sqrt{17}+\sqrt{65}+4}{2}$
Áp dụng công thức Herong ta có: ${S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} = 2$
c) Gọi I(x,y) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Khi đó: $\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
IA = IB\\
IA = IC
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 1)}^2}} = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 3)}^2}} \\
\sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 1)}^2}} = \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 5)}^2}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4x + 4 - 2y + 1 = - 2x + 1 + 6y + 9\\
- 4x + 4 - 2y + 1 = - 4x + 4 - 10y + 25
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2x - 8y = 5\\
8y = 24
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 29}}{2}\\
y = 3
\end{array} \right.\\
\end{array}$
Khi đó: $R=IA=\sqrt{\dfrac{1105}{4}}$
Như vậy: Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
$(x+\dfrac{29}{2})^{2}+(y-3)^{2}=\dfrac{1105}{4}$
