Lời giải:
$A(3;1);B(3;4);C(0;1)$
a) $\vec{AB}=(0;3)$
$\vec{BC}=(-3;-3)$
$\vec{AC}=(-3;0)$
$\vec{AB}.\vec{AC}=0.(-3)+3.(-3)=-9$
b) Do $\vec {AB}.\vec{AC}=0.(-3)+3.0=0$
$\Rightarrow AB\bot AC\Rightarrow\Delta ABC\bot A$
c) $\cos(\vec{BC},\vec{AC})=\dfrac{\vec{BC}.\vec{AC}}{BC.AC}$
$=\dfrac{-3.(-3)+(-3).0}{\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}.\sqrt{(-3)^2+0^2}}=\dfrac{9}{9\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}$
$\Rightarrow(\vec{BC},\vec{AC})=45^o$
d) $M$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow x_M=\dfrac{x_B+x_C}2; y_M=\dfrac{y_B+y_C}2$
$\Rightarrow M\left({\dfrac32;\dfrac52}\right)$
$\Rightarrow\vec{AM}=\left({-\dfrac32;\dfrac32}\right)$
$\Rightarrow AM=\sqrt{\left({-\dfrac32}\right)^2+\left({\dfrac32}\right)^2}=\dfrac3{\sqrt2}$
Cách khác:
$|\vec {AM}|=\dfrac12|\vec{AB}+\vec{AC}|=\dfrac12|(-3;3)|$
$=\dfrac12\sqrt{(-3)^2+3^2}=\dfrac{3\sqrt2}2$
e) $K$ nằm trên trục $Ox$ nên gọi $K(a,0)$
$\vec{AK}=(a-3;-1)$
Để $A, B, K$ thẳng hàng thì $\vec{AB}=k\vec{AK}$ $(k\ne 0)$
$\Rightarrow \begin{cases}0=k(a-3)\\3=k.(-1)\end{cases}$
$\Rightarrow a=3\Rightarrow K(3;0)$.
Giải thích:
- Cho điểm $A(a_1;a_2)$ và $B(b_1;b_2)$ thì $\vec{AB}=(b_1-a_1;b_2-a_2)$
- Tích vô hướng của $\vec u=(a,b)$ và $\vec v=(x;y)$ là $\vec{u}.\vec v=ax+by$
- $\vec{u}.\vec u=|\vec u|.|\vec v|.\cos(\vec u,\vec v)$
- $|u|=\sqrt{a^2+b^2}$
